Faktoriál velkých čísel
Pro řadu kapesních kalkulátorů (a nejen staršího data výroby) platí omezení maximální hodnoty zadané funkci výpočtu faktoriálu. Příčinou je dvojciferný desítkový exponent pro semilogaritmické zobrazení výsledků. Typickou nejvyšší vstupní hodnotou je číslo 69, neboť 70! = 1.19785717E100. Novější kousky od Hewlett Packard (míněno mladší než 20 let, tedy ty z řady Pioneer HP-42s, HP-32sII, ..., nebo ještě mladší HP-33s, HP-35s) operují s exponentem třímístným, v důsledku čehož se omezeni odsouvá k hodnotě výsledku 9.9999E499. Pokud by však někoho zajímala hodnota faktoriálu pro čísla větší než 253 (toto číslo právě proto, že 253! = 5.1735E499), může použít Stirlingovu asymptotickou řadu pro faktoriál. Má tento tvar:
| n! | = | √2 π n (n / e)n (A0 n0 + A1 n-1 + A2 n-2 + A3 n-3 + ... + Ak n-k). |
| A0 | = | 1, |
| A1 | = | 1/12, |
| A2 | = | 1/288, |
| A3 | = | –139/51840 |
| A2 / n² | = | (A1 / n¹)² / 2. |
Aby bylo možno výsledek výpočtu n! zobrazit na "jakékoliv kalkulačce", je ho třeba rozdělit na dvě části semilogaritmické notace x = b 10q, a ty zobrazit jako dvě samostatná čísla. Výraz s asymptotickou řadou je tedy zlogaritmován a rozdělen na dílčí kroky výpočtu:
| S | = | A3 / n³ + A1 / n + (A1 / n)² / 2 + 1, |
| L | = | log √2 π n + n log(n / e) + log S, |
| B | = | 10frac(L), |
| Q | = | int(L), |
| n! | = | B 10Q. |
Nutno ještě podotknouti, že v polynomu S = ... by měl být obsažen minimálně ještě jeden člen s koeficientem A4 = -571/2488320. Jeho absencí je zaručena přesnost mantisy výsledku na pět desetinných míst. To je přesnost dostačující. Pokud se vůbec někdo bude takovým výpočtem zabývat, bude tak činit zejména proto, aby si udělal přibližnou představu o tom "kolik to asi je". Také formát výstupu (dvě samostatné hodnoty) není příznivě nakloněn dalšímu zpracování. Jinak řečeno: pravděpodobnost, že tento postup někdo použije jako podprogram nějakého vyššího celku, je prakticky nulová.
Budiž konečně přistoupeno k obeznámení s vyhotoveným programem. Zde použitá syntaxe je pro HP-32sII. Neobsahuje však nic, co by nezvládla většina kalkulátorů obdařená RPN. Pokud bude potenciální uživatel brát v úvahu drobné odlišnosti dané různými typy, lze bez uzardění deklarovat naprostou univerzálnost tohoto postupu. Nezávislost na použitém typu kalkulátoru je dána především absencí potřeby větvení programu a také nulovými nároky na využití paměťových registrů. Co je tedy myšleno drobnými odlišnostmi? (1) Samozřejmě definice návěští se liší model od modelu. U některých (byť v minulosti dobře prodávaných typů, např. HP-12C) adresace použitím návěští zcela chybí. (2) Lze se také setkat s větší "spotřebu" programových řádků. Zdaleka ne všechny stroje (včetně skvostů z řady Voyager v čele s vlajkovou lodí HP-15C nebo klenotu konce sedmdesátých let HP-67) číselné konstanty sdružují do jednoho programového řádku, jako to dělá král všech programovatelných kalkulátorů světa HP-41C a jeho mladší příbuzní.
| ADDR | CODE | X | Y | Z | T |
|---|---|---|---|---|---|
| A01 | LBL A | n | |||
| A02 | x² | n² | |||
| A03 | LASTx | n | n² | ||
| A04 | -139 | -139 | n | n² | |
| A05 | LASTx | n | -139 | n | n² |
| A06 | R↑ | n² | n | -139 | n |
| A07 | × | n³ | -139 | n | n |
| A08 | 51840 | 51840 | n³ | -139 | n |
| A09 | × | 51840 n³ | -139 | n | n |
| A10 | ÷ | w = A3 / n³ | n | n | n |
| A11 | x<>y | n | w | n | n |
| A12 | 12 | 12 | n | w | n |
| A13 | × | 12 n | w | n | n |
| A14 | 1/x | u = A1 / n¹ | w | n | n |
| A15 | + | u + w | n | n | n |
| A16 | LASTx | u | u + w | n | n |
| A17 | x² | u² | u + w | n | n |
| A18 | 2 | 2 | u² | u + w | n |
| A19 | ÷ | v = u² / 2 | u + w | n | n |
| A20 | + | u + v + w | n | n | n |
| A21 | 1 | A0 / n0 | u + v + w | n | n |
| A22 | + | S | n | n | n |
| A23 | LOG | log S | n | n | n |
| A24 | x<>y | n | log S | n | n |
| A25 | 1 | 1 | n | log S | n |
| A26 | ex | e | n | log S | n |
| A27 | ÷ | n / e | log S | n | n |
| A28 | LOG | log(n / e) | log S | n | n |
| A29 | R↑ | n | log(n / e) | log S | n |
| A30 | × | n log(n / e) | log S | n | n |
| A31 | R↓ | n | n log(n / e) | log S | n |
| A32 | R↓ | n | n | n log(n / e) | log S |
| A33 | + | 2 n | n log(n / e) | log S | |
| A34 | π | π | 2 n | n log(n / e) | log S |
| A35 | × | 2 π n | n log(n / e) | log S | |
| A36 | SQRT | √2 π n | n log(n / e) | log S | |
| A37 | LOG | log √2 π n | n log(n / e) | log S | |
| A38 | + | ... | log S | ||
| A39 | + | L | |||
| A40 | IP | Q | |||
| A41 | LASTx | L | Q | ||
| A42 | FP | frac L | Q | ||
| A43 | 10x | L | Q | ||
| A44 | RTN | ||||
| LN=082.0, CK=85B1 | |||||
Použití programu:
| Stisk kláves | Činnost | Display |
|---|---|---|
| 4 0 0 | kladné číslo "n" | 400_ |
| XEQ A | spuštění programu | RUNNING |
| výsledek: 400! = 6.4035E868, mantisa... | 6.4035 | |
| x<>y | ...a exponent | 868.0000 |
Ti, kteří mají s autorem těchto řádků stejnou krevní skupinu, zcela jistě trpí společensky obtížně tolerovatelnou obsesí: nesnesou pomyšlení, že by se jakýkoliv program nedal zkrátit při zachování původní funkce. Ušetřených deset procent z celkového počtu programových řádků nabízí verze pro HP-35s. Množství uspořených bajtů paměti je evidentně zanedbatelné, ale o to tu přeci nejde, že? Šetřit se musí, ať to stojí co chce!
Pozn.: Filuta, který by celý vzorec pro výpočet vměstnal do jediného programového řádku v podobě rovnice (viz EQN), by se na medailových pozicích případného Mistrovství světa v šetření programových řádků neumístil. Jeho řešení nemá nic do činění s RPN a tudíž by to pro pravověrné neznamenalo žádnou výzvu!
| ADDR | CODE | X | Y | Z | T |
|---|---|---|---|---|---|
| A001 | LBL A | n | |||
| A002 | x² | n² | |||
| A003 | LASTx | n | n² | ||
| A004 | -0 139/51840 | A3 | n | n² | |
| A005 | LASTx | n | A3 | n | n² |
| A006 | R↑ | n² | n | A3 | n |
| A007 | × | n³ | A3 | n | n |
| A008 | ÷ | w = A3 / n³ | n | n | n |
| A009 | 0 1/12 | A1 | w | n | n |
| A010 | R↑ | n | A1 | w | n |
| A011 | ÷ | u = A1 / n¹ | w | n | n |
| A012 | + | u + w | n | n | n |
| A013 | LASTx | u | u + w | n | n |
| A014 | x² | u² | u + w | n | n |
| A015 | 2 | 2 | u² | u + w | n |
| A016 | ÷ | v = u² / 2 | u + w | n | n |
| A017 | + | u + v + w | n | n | n |
| A018 | 1 | A0 / n0 | u + v + w | n | n |
| A019 | + | S | n | n | n |
| A020 | LOG | log S | n | n | n |
| A021 | x<>y | n | log S | n | n |
| A022 | e | e | n | log S | n |
| A023 | ÷ | n / e | log S | n | n |
| A024 | LOG | log(n / e) | log S | n | n |
| A025 | R↑ | n | log(n / e) | log S | n |
| A026 | × | n log(n / e) | log S | n | n |
| A027 | R↓ | n | n log(n / e) | log S | n |
| A028 | R↓ | n | n | n log(n / e) | log S |
| A029 | + | 2 n | n log(n / e) | log S | |
| A030 | π | π | 2 n | n log(n / e) | log S |
| A031 | × | 2 π n | n log(n / e) | log S | |
| A032 | √x | √2 π n | n log(n / e) | log S | |
| A033 | LOG | log √2 π n | n log(n / e) | log S | |
| A034 | + | ... | log S | ||
| A035 | + | L | |||
| A036 | IP | Q | |||
| A037 | LASTx | L | Q | ||
| A038 | FP | frac L | Q | ||
| A039 | 10x | B | Q | ||
| A040 | RTN | ||||
| LN=143, CK=EA1B | |||||
Použití programu:
| Stisk kláves | Činnost | Display |
|---|---|---|
| 4 0 0 | kladné číslo "n" | 0.0000 400_ |
| XEQ A ENTER | spuštění programu | RUNNING |
| výsledek: 400! = 6.4035E868, exponent v Y-registru... ...mantisa v X-registru | 868.0000 6.4035 |
Dychtivcům, které problematika zaujala, je určen odkaz na příslušnou stránku v rámci www.hpmuseum.org. Tam se nachází inspirace pro toto cvičení. Na hodnotitelích rekrutujících se z řad dychtivců pak zůstává ocenit efektivitu sestaveného programu.
Závěrem ještě malé zamyšlení určené těm, kterým přes masivní útok předchozích řádků zůstalo všech pět pohromadě: má praktický význam zabývat se výpočty s čísly, jejichž desítkový exponent je mimo rozsah ±20? No, nevím, milé děti, opravdu nevím...