RPNmania - Drobnosti pro HP-35s

Drobnosti pro HP-35s

Úvod

Poslání následujících několika ukázek kratičkých sekvencí instrukcí je až urážlivě prosté: na několika málo řádcích předvést řešení, ...

...u kterých je kladen maximální důraz na jednoduchost ve smyslu spotřebovat co nejmenší počet programových kroků, registrů, ... prostě co nejméně paměti a strojového času. To se do značné míry podařilo splnit. V žádné z ukázek totiž není použit ani jeden paměťový registr kalkulátoru. Na vše postačí 4 pracovní registry RPN stacku a registr LASTx.
... která s velkou mírou nadsázky "rozšíří" možnosti kalkulátoru HP-35s, nebo spíše poodhalí cesty, které nejsou na první pohled patrné.

A nyní již ruče do studia. Zde je seznam ukázek.

Nalezení největšího společného dělitele
Převod pravoúhlých souřadnic na polární
Převod polárních souřadnic na pravoúhlé
Řešení kvadratické rovnice
Fibonacciho čísla

Důležité upozornění:
Slovní spojení sekvence instrukcí z úvodní věty lze nahradit termínem program. Není však cílem laskavého čtenáře (je-li jím úplný začátečník) vyděsit, ani budit jeho očekávání, která po přečtení tohoto materiálu zůstanou nenaplněna (pokud je týž z řad pokročilců). Použití výrazu program hned na samý úvod se tomto kontextu zdá býti nepatřičné, proto ten opisný tvar. V dalším textu je označení program pro jednoduchost bezostyšně užíváno, navzdory tomu, že si to ty sekvence instrukcí vůbec nezaslouží.
Ukázky také neobsahují žádné bližší komentáře. Jejich absence je zcela záměrná. Pokud by se k bližšímu komentování přikročilo, nejeden čtenář by takový počin mohl vyhodnotit jako pohrdání jeho osobou. A to i v případě začátečníků!

Ještě jedno důležité upozornění:
Dlužno přiznat, že minimalistických rysů ukázek nebylo povětšinou dosaženo genialitou autorovou. Příčinou úspěchu jsou především vlastnosti HP-35s, kterých aby u starších modelů pohledal.

1. Nalezení největšího společného dělitele

Program spočítá největší společný dělitel dvou celých čísel. Je vhodné první zadat větší číslo - ušetří se tím jeden jalový průchod potřebný k výměně vstupních argumentů použitím výpočtu zbytku po dělení. Jak perverzní...

ADDR	CODE	X	Y
G001	LBL G	n	m
G002	RMDR	r = m % n
G003	LASTx	n	r
G004	x<>y	r	n
G005	x≠0?	r	n
G006	GTO G002	n ← r	m ← n
G007	x<>y	n	r
G008	RTN	výsledek
LN=24, CK=59F5

Použití programu:
Stisk kláves Činnost Display
5 6 první (větší) číslo... 0.0000
56_
ENTER ...do Y-registru 56.0000
56.0000
4 2 druhé číslo v X-registru 56.0000
42_
XEQ G ENTER spuštění programu
RUNNING
výsledek (14) v X-registru 0.0000
14.0000

Stisk kláves	Činnost	Display
5 6	první (větší) číslo...	0.0000 56_
ENTER	...do Y-registru	56.0000 56.0000
4 2	druhé číslo v X-registru	56.0000 42_
XEQ G ENTER	spuštění programu	RUNNING
	výsledek (14) v X-registru	0.0000 14.0000

R↑

2. Převod pravoúhlých souřadnic na polární

Samotný postup převodu je zcela nezajímavý. Co stojí za pozornost je vytvoření komplexního čísla z registrů RPN stacku a následné využití jedné z mnoha mocných zbraní, kterými HP-35s disponuje: jsou to operace s komplexními čísly. Vlastně se dá říci, že tento program nedělá nic jiného, než složí komplexní číslo ze souřadnic pravoúhlé soustavy a následného rozloží na druhý možný tvar, tedy na souřadnice polární. Použití programu napodobuje funkci R→P z modelu HP-32sII.

ADDR	CODE	X	Y	Z
P001	LBL P	x	y
P002	x<>y	y	x
P003	i	i	y	x
P004	×	yi	x
P005	+	x + yi
P006	ARG	θ
P007	LASTx	x + yi	θ
P008	ABS	R	θ
P009	RTN	R	θ
LN=28, CK=E448

Použití programu:
Stisk kláves Činnost Display
RAD výsledek bude v radiánech 0.0000
0.0000
3 Y souřadnice... 0.0000
3_
ENTER ...do Y-registru 3.0000
3.0000
4 Y souřadnice v X-registru 3.0000
4_
XEQ P ENTER spuštění programu
RUNNING
výsledek: (5.0000θ0.6435) úhel θ v Y- a vzdálenost R v X-registru 0.6435
5.0000

Stisk kláves	Činnost	Display
RAD	výsledek bude v radiánech	0.0000 0.0000
3	Y souřadnice...	0.0000 3_
ENTER	...do Y-registru	3.0000 3.0000
4	Y souřadnice v X-registru	3.0000 4_
XEQ P ENTER	spuštění programu	RUNNING
	výsledek: (5.0000θ0.6435) úhel θ v Y- a vzdálenost R v X-registru	0.6435 5.0000

R↑

3. Převod polárních souřadnic na pravoúhlé

Tento program nemá nic společného se specifiky HP-35s, zcela nezměněn může být provozován na libovolném RPN kalkulátoru HP. Je zde uveden pouze pro formu jako realizace inverzní funkce k převodu předchozímu.

Poznámka:
Obě konverze obsahují na programových řádcích P002 resp. R002 zdánlivě zbytečnou instrukci x<>y. Je to tak, je lhostejno v jakém pořadí jsou vstupní argumenty zadány. Přesto jsou tam tyto instrukce ponechány z důvodu kompatibility s funkcemi R→P a P→R modelu HP-32sII.

ADDR	CODE	X	Y	Z
R001	LBL R	R	θ
R002	x<>y	θ	R
R003	COS	cos θ	R
R004	x<>y	R	cos θ
R005	LASTx	θ	R	cos θ
R006	SIN	sin θ	R	cos θ
R007	x<>y	R	sin θ	cos θ
R008	×	R sin θ	cos θ
R009	x<>y	cos θ	R sin θ
R010	LASTx	R	cos θ	R sin θ
R011	×	R cos θ	R sin θ
R012	RTN	x	y
LN=36, CK=D02A

Použití programu:
Stisk kláves Činnost Display
RAD výsledek bude v radiánech,
úhel θ v Y- a vzdálenost R v X-registru z předchozího výpočtu 0.6435
5.0000
XEQ R ENTER spuštění programu
RUNNING
výsledek: souřadnice x a y ve stejnojmenných registrch RPN stacku 3.0000
4.0000

Stisk kláves	Činnost	Display
RAD	výsledek bude v radiánech, úhel θ v Y- a vzdálenost R v X-registru z předchozího výpočtu	0.6435 5.0000
XEQ R ENTER	spuštění programu	RUNNING
	výsledek: souřadnice x a y ve stejnojmenných registrch RPN stacku	3.0000 4.0000

R↑

4. Řešení kvadratické rovnice

Kalkulátor HP-35s má mnoho předností a unikátních funkcí. Zajímavostí této ukázky je využití některých z nich pro řešení kvadratické rovnice

ax² + bx + c = 0

s koeficienty z oboru reálných čísel. Další zajímavostí je délka programu: bystrému pozorovateli neuniklo, že po úvodních rozpacích z předcházejících příkladů se délka tohoto díla rozpíná přes úctyhodných pětadvacet řádků :-)

ADDR	CODE	X	Y	Z	T
Q001	LBL Q	c	b	a
Q002	ENTER	c	c	b	a
Q003	R↑	a	c	c	b
Q004	÷	c / a	c	b	b
Q005	R↑	b	c / a	c	b
Q006	LASTx	a	b	c / a	c
Q007	÷	b / a	c / a	c	c
Q008	-2	-2	b / a	c / a	c
Q009	÷	-b / 2a	c / a	c	c
Q010	ENTER	-b / 2a	-b / 2a	c / a	c
Q011	ENTER	-b / 2a	-b / 2a	-b / 2a	c / a
Q012	x²	(-b / 2a)²	-b / 2a	-b / 2a	c / a
Q013	R↑	c / a	(-b / 2a)²	-b / 2a	-b / 2a
Q014	-	(-b / 2a)² - c / a	-b / 2a	-b / 2a
Q015	x≥0?	D ≥ 0
Q016	GTO Q020	D	-b / 2a	-b / 2a
Q017	0.5i0	0.5 + 0i	D	-b / 2a	-b / 2a
Q018	y^x	√D	-b / 2a	-b / 2a
Q019	GTO Q021	√D	-b / 2a	-b / 2a
Q020	√x	√D	-b / 2a	-b / 2a
Q021	-	-b / 2a - √D	-b / 2a
Q022	x<>y	-b / 2a	x2
Q023	LASTx	√D	-b / 2a	x2
Q024	+	-b / 2a + √D	x2
Q025	RTN	x1	x2
LN=82, CK=8D17

Použití programu:
Stisk kláves Činnost Display
1) x² + 5x - 6 = 0
1 ENTER koeficient a 1.0000
1.0000
5 ENTER koeficient b 5.0000
5.0000
6 +/- koeficient c 5.0000
-6_
XEQ Q ENTER spuštění programu
RUNNING
kořeny rovnice v X- a Y-registru -6.0000
1.0000

2) 9x² + 6 + 2 = 0
FDISP výsledek zobrazit ve formě zlomků 0
0
9 ENTER koeficient a 9
9
6 ENTER koeficient b 6
6
2 koeficient c 6
2_
XEQ Q ENTER spuštění programu
RUNNING
kořeny rovnice v X- a Y-registru -0 1/3i-0 1/3
-0 1/3i0 1/3

Stisk kláves	Činnost	Display
	1) x² + 5x - 6 = 0
1 ENTER	koeficient a	1.0000 1.0000
5 ENTER	koeficient b	5.0000 5.0000
6 +/-	koeficient c	5.0000 -6_
XEQ Q ENTER	spuštění programu	RUNNING
	kořeny rovnice v X- a Y-registru	-6.0000 1.0000
	2) 9x² + 6 + 2 = 0
FDISP	výsledek zobrazit ve formě zlomků	0 0
9 ENTER	koeficient a	9 9
6 ENTER	koeficient b	6 6
2	koeficient c	6 2_
XEQ Q ENTER	spuštění programu	RUNNING
	kořeny rovnice v X- a Y-registru	-0 1/3i-0 1/3 -0 1/3i0 1/3

Na tomto místě by mohlo srdceryvné líčení žalostných osudů kvadratických rovnic skončit. Bylo by to však trochu unfair. Vůči komu? Přeci vůči konkurenčním číselným oborům.
V úvodu komentáře k této "drobnosti" je psáno o řešení kvadratické rovnice s koeficienty z oboru reálných čísel. Pro ty, kteří jsou ochotni skousnout zobrazení výsledků vždy v komplexním tvaru (bez ohledu na to, mají-li výsledné hodnoty nulové imaginární části) a kterým se nebude eklovat zkrácení programu o dva řádky, je tu alternativní řešení. To vyčíslí kořeny kvadratické rovnice s komplexními koeficienty.

ADDR	CODE	X	Y	Z	T
C001	LBL C	c	b	a
C002	ENTER	c	c	b	a
C003	R↑	a	c	c	b
C004	÷	c / a	c	b	b
C005	R↑	b	c / a	c	b
C006	LASTx	a	b	c / a	c
C007	÷	b / a	c / a	c	c
C008	-2	-2	b / a	c / a	c
C009	÷	-b / 2a	c / a	c	c
C010	ENTER	-b / 2a	-b / 2a	c / a	c
C011	ENTER	-b / 2a	-b / 2a	-b / 2a	c / a
C012	×	(-b / 2a)²	-b / 2a	c / a	c / a
C013	LASTx	-b / 2a	(-b / 2a)²	-b / 2a	c / a
C014	x<>y	(-b / 2a)²	-b / 2a	-b / 2a	c / a
C015	R↑	c / a	(-b / 2a)²	-b / 2a	-b / 2a
C016	-	(-b / 2a)² - c / a	-b / 2a	-b / 2a
C017	0.5i0	0.5 + 0i	D	-b / 2a	-b / 2a
C018	y^x	√D	-b / 2a	-b / 2a
C019	-	-b / 2a - √D	-b / 2a
C020	x<>y	-b / 2a	x2
C021	LASTx	√D	-b / 2a	x2
C022	+	-b / 2a + √D	x2
C023	RTN	x1	x2
LN=76, CK=306B

Použití programu:
Stisk kláves Činnost Display
x² - (2 + i)x - 1 + 7i = 0
1 ENTER koeficient a 1.0000
1.0000
2 +/- i 1 +/- ENTER koeficient b -2.0000i-1.0000
-2.0000i-1.0000
1 +/- i 7 koeficient c -2.0000i-1.0000
-1i7_
XEQ C ENTER spuštění programu
RUNNING
kořeny rovnice v X- a Y-registru -1.0000i2.0000
3.0000i-1.0000

Stisk kláves	Činnost	Display
	x² - (2 + i)x - 1 + 7i = 0
1 ENTER	koeficient a	1.0000 1.0000
2 +/- i 1 +/- ENTER	koeficient b	-2.0000i-1.0000 -2.0000i-1.0000
1 +/- i 7	koeficient c	-2.0000i-1.0000 -1i7_
XEQ C ENTER	spuštění programu	RUNNING
	kořeny rovnice v X- a Y-registru	-1.0000i2.0000 3.0000i-1.0000

R↑

5. Fibonacciho čísla

V ukázce výpočtu libovolného Fibonacciho čísla není - tak jako u ostatních ukázek - nic světoborného. Vlastně by tu žádný komentář nemusel být, ale přesto nebude ke škodě zopakovat si některá "provařená" fakta. Důvodem k opakování pochopitelně není případného čtenáře vzdělat, to jistě ne. Spíš mu následující řádky umožní zcela zdarma se přesvědčit o vlastní genialitě (po kolikáté již!) a se shovívavým úsměvem si pobrlávat: "...no jasně, to přeci všichni dávno víme...".

Fibonacciho řada je definována vztahem:

F_n = F_n-1 + F_n-2, F₀ = 0, F₁ = 1.

Tento postup (postupné sčítání) však následující program nepoužívá. Je v něm "zaklet" vzorec používající hodnotu nazývanou zlatý řez označovanou literou φ:

F(n) = floor(φⁿ / √5 + 0.5), n ≥ 0

kde

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.61803399.

Hodnota F_n je vypočtena pro n z oboru celých čísel v rozsahu <-2392; 2392>.

ADDR	CODE	X	Y	Z
F001	LBL F	n
F002	x≥0?	n
F003	GTO F012
F004	+/-	-(-n)
F005	REGX	-(-n)	-(-n)
F006	1	1	-(-n)	-(-n)
F007	AND	n & 1	-(-n)
F008	x=0?	n & 1	-(-n)
F019	GTO F027
F010	CLx	0	-(-n)
F011	+	-(-n)
F012	5	5	n
F013	√x	√5	n
F014	1	1	√5	n
F015	+	1 + √5	n
F016	2	2	1 + √5	n
F017	÷	φ	n
F018	x<>y	n	φ
F029	y^x	φⁿ
F020	5	5	φⁿ
F021	√x	√5	φⁿ
F022	÷	φⁿ / √5
F023	0.5	0.5	φⁿ / √5
F024	+
F025	INTG	F_n
F026	RTN
F027	XEQ F011
F028	+/-	F_n
F029	RTN
LN=95, CK=6797

Použití programu:
Stisk kláves Činnost Display
1 9 nezáporné číslo "n" (kladné nebo 0) 0.0000
19_
XEQ F ENTER spuštění programu
RUNNING
výsledek v X-registru 0.0000
4,181.0000
8 +/- záporné "n" 4,181.0000
-8_
XEQ F ENTER spuštění programu
RUNNING
výsledek opět v X-registru
Y-registr zachován 4,181.0000
-21.0000

Stisk kláves	Činnost	Display
1 9	nezáporné číslo "n" (kladné nebo 0)	0.0000 19_
XEQ F ENTER	spuštění programu	RUNNING
	výsledek v X-registru	0.0000 4,181.0000
8 +/-	záporné "n"	4,181.0000 -8_
XEQ F ENTER	spuštění programu	RUNNING
	výsledek opět v X-registru Y-registr zachován	4,181.0000 -21.0000

Poznámka:
V případě, že není třeba vstupní hodnoty n uvažovat záporné, postačí program zredukovat na řádky F013 až F027.

Ještě jedna poznámka:
Ať se program použije v libovolné podobě (celý, jak ho ukazuje předchozí výpis, nebo zkrácený pouze pro nezáporné vstupní hodnoty n) platí tento fakt: po skončení běhu této sekvence jsou modifikovány pouze Z- a T-registry RPN stacku, Y-registr je zachován. Toho lze využít při kontrole správnosti výpočtu:

Stisk kláves Činnost Display
7 n = 7 0.0000
7_
XEQ F ENTER spuštění programu
RUNNING
F₇ v X-registru 0.0000
13.0000
8 n = 8 13.0000
8_
XEQ F ENTER spuštění programu
RUNNING
F₇
F₈ 13.0000
21.0000
+ F₈
F₉ 13.0000
34.0000
9 n = 9 34.0000
9_
XEQ F ENTER spuštění programu
RUNNING
F₉ v obou registrech 34.0000
34.0000
- F₉ - F₉ = 0 34.0000
0.0000

Stisk kláves	Činnost	Display
7	n = 7	0.0000 7_
XEQ F ENTER	spuštění programu	RUNNING
	F₇ v X-registru	0.0000 13.0000
8	n = 8	13.0000 8_
XEQ F ENTER	spuštění programu	RUNNING
	F₇ F₈	13.0000 21.0000
+	F₈ F₉	13.0000 34.0000
9	n = 9	34.0000 9_
XEQ F ENTER	spuštění programu	RUNNING
	F₉ v obou registrech	34.0000 34.0000
-	F₉ - F₉ = 0	34.0000 0.0000

Při potřebě pouze si prohlížet posloupnost čísel není potřeba vkládat do paměti kalkulátoru celé třicetiřádkové monstrum (v kombinaci s poměrně toporným ručním ovládáním: (1) zadat n, (2) spustit program XEQ F ENTER, (3) zadat n+1, (4) spustit program XEQ F ENTER, ...). Pro takový účel vrchovatě postačí sekvence instrukcí notoricky známá z kalkulátorů používaných v polovině sedmdesátých let. Zde se skví.

ADDR	CODE	X	Y
V001	LBL V	F_n-1	F_n-2
V002	+	F_n-1 + F_n-2
V003	STOP	F_n
V004	LASTx	F_n-1	F_n
V005	x<>y	F_n	F_n-1
V006	GTO V001
LN=18, CK=1EA3

Použití programu:
Stisk kláves Činnost Display
1 ENTER F₂ 1.0000
1.0000
F₁ stejné jako F₂ 1.0000
1.0000
XEQ V ENTER spuštění programu
RUNNING
F₃ v X-registru 0.0000
2.0000
R/S pokračovat pro výpočet F₄ 0.0000
3.0000
R/S F₅ 0.0000
5.0000
R/S F₆ 0.0000
8.0000
R/S F₇ 0.0000
13.0000

Stisk kláves	Činnost	Display
1 ENTER	F₂	1.0000 1.0000
	F₁ stejné jako F₂	1.0000 1.0000
XEQ V ENTER	spuštění programu	RUNNING
	F₃ v X-registru	0.0000 2.0000
R/S	pokračovat pro výpočet F₄	0.0000 3.0000
R/S	F₅	0.0000 5.0000
R/S	F₆	0.0000 8.0000
R/S	F₇	0.0000 13.0000

R↑