RPNmania - Parciální derivace

Parciální derivace

Řešení

Dalším tématem (za první lze považovat faktoriál velkých čísel), které našlo inspiraci na stránkách www.hpmuseum.org, je parciální derivace funkce. Na stránce Partial Derivative for Any Variable for the HP-32SII je výchozí materiál pro tuto kapitolu. Postrádalo by smyslu pouhé přenesení programu z www.hpmuseum.org na toto místo. Důvodem pro vznik této stránky je inovace výchozího řešení. Nový název by mohl znít Partial Derivative of ANY Function for Any Variable. Je to tak: dalším stupněm volnosti je explicitní zadání derivované funkce.

Ale nepředbíhejme. Kouzlo vzorového řešení spočívá v tom, že nezávislá proměnná (argument vyšetřované funkce - zde implicitně definované návěštím LBL F) je určena její adresou vloženou do registru/proměnné i. To je samozřejmě hozená rukavice, která musí být zdvižena! Což takhle kromě proměnné určit nepřímo i funkci? Než se zasněně zahledíme na program, který je odpovědí na takovou výzvu, zopakujme některá důležitá fakta:

Program nepoužívá proměnné z rozsahu A až Z. Ty jsou ponechány k dispozici zkoumaným funkcím.
Jako pracovní proměnné slouží registry pro výsledky statistických výpočtů.
Výsledek je v X-registru RPN stacku.

Obsazení použitých paměťových registrů je tedy následující:

Symbol		Význam
Mnemo	Komentář	Význam
i	&var	adresa nezávislé proměnné *)
n	&var	úschova adresy nezávislé proměnné
Σx	dxi	krok nezávislé proměnné (v původním textu "deltaxi") *)
Σy	&fnc	adresa zkoumané funkce *)
Σx²	res₁	úschova mezivýsledku

*) Vstup do tohoto programu. Ostatní hodnoty (označené slovem "úschova") jsou vnitřními proměnnými.

Konečně výpis programu. Samozřejmě pro HP-32sII.
Pozn.: Pozor na změnu významu sloupců. V posledním sloupci nejsou hodnoty T-registru RPN stacku, ale proměnné i!

ADDR	CODE	X	Y	Z	i
D01	LBL D
D02	28	&n			&var
D03	x<> i	&var			&n
D04	STO(i)	n = &var
D05	STO i	&var			&var
D06	Σx	dxi
D07	STO-(i)	var -= dxi
D08	Σy	&fnc
D09	STO i	&fnc			&fnc
D10	XEQ(i)	res₁
D11	31	&Σx²	res₁
D12	STO i	&Σx²	res₁		&Σx²
D13	R↓	res₁
D14	STO(i)	Σx² = res₁
D15	n	&var
D16	STO i	&var			&var
D17	Σx	dxi
D18	STO+(i)	var += dxi
D19	STO+(i)	var += dxi
D20	Σy	&fnc
D21	STO i	&fnc			&fnc
D22	XEQ(i)	res₂
D23	n	&var	res₂
D24	STO i	&var	res₂		&var
D25	R↓	res₂
D26	Σx²	res₁	res₂
D27	-	res₂ - res₁
D28	Σx	dxi	res
D29	ENTER	dxi	dxi	res
D30	STO-(i)	var -= dxi	dxi	res
D31	+	2 dxi	res
D32	÷	res / (2 dxi)
D33	RTN	výsledek
LN=49.5, CK=5B1A

Použití

Laskavý čtenář promine ledacos, ale ukončení dnešní pohádky předchozími řádky asi stěží. Naštěstí takovou měrou cynismu není obdařen ani autor tohoto pojednání. Ale bylo to o fous, že?!

Pojďme se podívat, na co by se ta bejkárna dala použít. Bylo by hloupé dělat machry a snažit se vymyslet něco vlastního (zvláště, je-li to daleko za intelektuálním obzorem autorovým). Držme se obsahem vzoru a pokusme se také vyšetřit extrém funkce y = x² ln(x) pro rozsah vstupních hodnot nezávislé proměnné 0.5 až 0.7. Nepěkný cockpit-drill v podobě zadávání hodnot nahradí nově vzniklá sekvence instrukcí začínající návěštím LBL E. Je to vstupní bod přípravy hodnot pro spuštění výpočtu extrému.

ADDR	CODE	X	Y	Z	T	i
E01	LBL E	&fnc	&var	high	low
E02	STO i	&fnc	&var	high	low	&fnc
E03	CLx	0	&var	high	low
E04	30	&Σy	&var	high	low
E05	x<> i	&fnc	&var	high	low	&Σy
E06	STO(i)	Σy = &fnc
E07	DSE i	&fnc	&var	high	low	&Σx
E08	CLx	0	&var	high	low
E09	+	&var	high	low	low
E10	STO(i)	Σx = &var
E11	R↓	high	low	low	&var
E12	ENTER	high	high	low	low
E13	R↓	high	low	low	high
E14	-	low - high	low	high	high
E15	-5E4	-50,000	low - high	low	high
E16	÷	dxi	low	high	high
E17	x<>(i)	Σx = dxi
E18	STO i	&var	low	high	high	&var
E19	R↓	low	high	high	&var	&var
E20	STO(i)	var = low
E21	x<>y	high	low			&var
E22	FN= D
E23	SOLVE(i)	výsledek
E24	RTN
LN=44.0, CK=FE82

Použití programu:
Stisk kláves Činnost Display
. 5 ENTER dolní mez 0.5000
. 7 ENTER horní mez 0.7000
2 4 ENTER adresa proměnné X 24.0000
6 adresa funkce F 6_
XEQ E spuštění programu RUNNING → SOLVING
výsledek 0.6065
SHOW celá mantisa výsledku 606530656888

Stisk kláves	Činnost	Display
. 5 ENTER	dolní mez	0.5000
. 7 ENTER	horní mez	0.7000
2 4 ENTER	adresa proměnné X	24.0000
6	adresa funkce F	6_
XEQ E	spuštění programu	RUNNING → SOLVING
	výsledek	0.6065
SHOW	celá mantisa výsledku	606530656888

Výkonné části jsou pod střechou, zbývá zkoumaná funkce. Pro názornost si ponechala původní návěští LBL F.

ADDR	CODE	X	Y
F01	LBL F
F02	RCL X	x
F03	x²	x²
F04	LASTx	x	x²
F05	LN	ln(x)	x²
F06	×	x² ln(x)
F07	RTN	výsledek
LN=10.5, CK=024A

Pozn.: Pokud by se výpočet prováděl opakovaně, třeba s měnícími se hodnotami mezí, stálo by za úvahu předřadit před spuštění XEQ E ještě krátký úsek kódu pro náhradu zadávání neměnících se hodnot.

Vícenásobné použití

Platí-li úvodní předpoklad, že vstupy nově vzniklého programu označeného návěštími LBL D a LBL E jsou tvořeny adresami zkoumané funkce a její nezávislé proměnné, důsledek je vcelku příjemný: zjišťování mezních hodnot různých funkcí lze spouštět bez nutnosti modifikace programu. Předveďme si tuto fascinující vlastnost na dvou funkcích. (1) Napíšeme novou y = sin(a) označenou návěštím LBL A a budeme hledat maximum v rozsahu 0 až π. Když pánbůh dá, vyjde π / 2. (2) Jako pokusný králík číslo 2 poslouží funkce z předchozí ukázky. Je jenom trochu upravená za účelem dosažení úspor: kratší o jeden programový řádek a pracující pouze s X-registrem RPN stacku.

ADDR	CODE	X
A01	LBL A
A02	RCL A	a
A03	SIN	sin(a)
A04	RTN	výsledek
LN=6.0, CK=E29B
F01	LBL F
F02	RCL X	x
F03	LN	ln(x)
F04	RCL× X	x ln(x)
F05	RCL× X	x² ln(x)
F06	RTN	výsledek
LN=9.0, CK=C64F

Použití programu:
Stisk kláves Činnost Display
1) y = sin(a)
0 dolní mez 0_
π horní mez 3.1416
1 ENTER adresa proměnné A 1.0000
1 adresa funkce A 1_
XEQ E spuštění programu RUNNING → SOLVING
výsledek 1.5708
π 2 ÷ π / 2 1.5708
- chyba výsledku -1.3900E-9

2) y = x² ln(x)
. 5 ENTER dolní mez 0.5000
. 7 ENTER horní mez 0.7000
2 4 ENTER adresa proměnné X 24.0000
6 adresa funkce F 6_
XEQ E spuštění programu RUNNING → SOLVING
výsledek 0.6065
SHOW celá mantisa výsledku 606530676085

Stisk kláves	Činnost	Display
	1) y = sin(a)
0	dolní mez	0_
π	horní mez	3.1416
1 ENTER	adresa proměnné A	1.0000
1	adresa funkce A	1_
XEQ E	spuštění programu	RUNNING → SOLVING
	výsledek	1.5708
π 2 ÷	π / 2	1.5708
-	chyba výsledku	-1.3900E-9
	2) y = x² ln(x)
. 5 ENTER	dolní mez	0.5000
. 7 ENTER	horní mez	0.7000
2 4 ENTER	adresa proměnné X	24.0000
6	adresa funkce F	6_
XEQ E	spuštění programu	RUNNING → SOLVING
	výsledek	0.6065
SHOW	celá mantisa výsledku	606530676085

Pozn.: Na kontrolních zobrazeních celé mantisy je u funkcí F vidět rozdíl začínající na osmém místě. Je to způsobeno danou přesností kalkulátoru při výpočtech dvou možných postupů:

y = x² ln(x)

respektive

y = x (x ln(x))

•

Pokud se čirou náhodou našel ten, kdo v četbě setrval až do těchto míst, dá se předpokládat, že týž bude míst dostatek sil a vzmužilosti, aby se pustil do pokračování. Ostatním je veleno "Rota na můj povel, rota pozor! Po četách na ubikace rozchod!"